栈的应用-解析算术表达式 中缀表达式 前缀表达式

对计算机的算法来说,直接求算术表达式的值是相当困难的,一般分两步实现算法会更容易:
将算术表达式转换成另一种形式。
计算后缀表达式的值。

第一步比较难,但第二步很简单。对计算机来说,这种分两步的算法比直接解析算法容易的多。

中缀表达式(中缀记法)

中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法,操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式,但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的,因此计算表达式的值时,通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式,然后再进行求值。对计算机来说,计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式

前缀表达式就是不含括号的算术表达式,而且它是将运算符写在前面,操作数写在后面的表达式,为纪念其发明者波兰数学家Jan Lukasiewicz也称为”波兰式”。例如,- 1 + 2 3,它等价于1-(2+3)。

求值方法

对于一个前缀表达式的求值而言,首先要从右至左扫描表达式,从右边第一个字符开始判断,如果当前字符是数字则一直到数字串的末尾再记录下来,如果是运算符,则将右边离得最近的两个“数字串”作相应的运算,以此作为一个新的“数字串”并记录下来。一直扫描到表达式的最左端时,最后运算的值也就是表达式的值。例如,前缀表达式“- 1 + 2 3“的求值,扫描到3时,记录下这个数字串,扫描到2时,记录下这个数字串,当扫描到+时,将+右移做相邻两数字串的运算符,记为2+3,结果为5,记录下这个新数字串,并继续向左扫描,扫描到1时,记录下这个数字串,扫描到-时,将-右移做相邻两数字串的运算符,记为1-5,结果为-4,所以表达式的值为-4。

公式用法

前缀表达式是一种十分有用的表达式,它将中缀表达式转换为可以依靠简单的操作就能得到运算结果的表达式。例如,(a+b)(c+d)转换为,+,a,b,+,c,d。它的优势在于只用两种简单的操作,入栈和出栈就可以解决任何中缀表达式的运算。其运算方式为:如果当前字符(或字符串)为数字或变量,则压入栈内;如果是运算符,则将栈顶两个元素弹出栈外并作相应运算,再将结果压入栈内。当前缀表达式扫描结束时,栈里的就是中缀表达式运算的最终结果。

相关例子

a+b —> +,a,b

a+(b-c) —> +,a,-,b,c

a+(b-c)d —> +,a,,-,b,c,d

a=1+3 —> =,a,+,1,3

转换算法

(1) 首先构造一个运算符栈S1(也可放置括号),运算符(以括号分界点)在栈内遵循越往栈顶优先级不降低的原则进行排列

   再构造一个储存中间结果的栈S2;

(2) 从右至左扫描中缀表达式;
(3) 遇到操作数时,将其压入S2;
(4) 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1) 如果S1为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;
(4-2) 否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入S1;
(4-3) 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5) 遇到括号时:
(5-1) 如果是右括号“)”,则直接压入S1;
(5-2) 如果是左括号“(”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6) 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最左边;
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8) 依次弹出S2中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

后缀表达法
在后缀表达法中,操作符跟在两个操作数的后面,这样,A+B就成为AB+,A/B成为AB/。后缀表达式中也称作波兰逆序表达式(Reverse Polish Notation  ),或者RPN,它是由一位波兰的数学家发明的。更复杂的中缀表达式同样可以转换成后缀表达式,比如: 

后缀表达式:9 3 1-3*+ 10 2/+

计算中缀表达式的值

规则:从左到右遍历表达式的每个数字和符号,遇到是数字就进栈,遇到是符号,就将处于栈顶两个数字出栈,进行运算,运算结果进栈,一直到最终获得结果。

计算机实现转换:

将中缀表达式转换为后缀表达式的算法思想:

运算符(以括号分界点)在栈内遵循往栈顶优先级升高的原则进行排列

1·开始扫描;
2·数字时,加入后缀表达式;
3·运算符: 人
a. 若为 ‘(‘,入栈;
b. 若为 ‘)’,则依次把栈中的的运算符加入后缀表达式中,直到出现'(‘,从栈中删除'(‘ ;
c. 若为 除括号外的其他运算符, 当其优先级高于除'(‘以外的栈顶运算符时,直接入栈。否则从栈顶开始,依次弹出比当前处理的运算符优先级高和优先级相等的运算符,直到一个比它优先级低的或者遇到了一个左括号为止。
4·当扫描的中缀表达式结束时,栈中的的所有运算符出栈;

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